2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 参考公式：

　球的表面积公式：S＝4πr2，其中R是球的半径. 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：

　Pn（k）＝Cpk(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）. 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足M｛a1, a2, a3, a4｝,且M∩｛a1 ,a2, a3｝={ a1·a2}的集合M的个数是 （A）1　　　　　　　(B)2

　(C)3

　(D)4 （2）设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于 （A）1　　　　　　　（B）-i

　(C)±1

　(D) ±i （3）函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是

　（4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为 (A) 3

　(B)2

　 (C)1

　 (D)-1 （5）已知cos（α-）+sinα= （A）-　　　　（B）

　(C)-

　 (D)

　（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9π　　　　　　　（B）10π (C)11π

　(D)12π

　（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B） （C）　　　　　　　　　　　　　　　（D） (8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 （A）304.6　　　　　　　　　　（B）303.6

　 (C)302.6

　(D)301.6 （9）（x-）12展开式中的常数项为 （A）-1320　　　　　　　　　　（B）1320　　　　　　　　（C）-220

　 (D)220 (10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （A）

　 (B) (C)

　(D) （11）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （A）10　　　　　　　（B）20　　　　　　　　（C）30　　　　　　　（D）40 （12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （A）[1,3]

　 (B)[2,]

　(C)[2,9]

　 (D)[,9]

　第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝　　4　　　. （14）设函数f(x)=ax2+c(a≠0).若，0≤x0≤1,则x0的值为. （15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝. （16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为（5，7）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝ ＝ ＝2sin(-) 因为　f(x)为偶函数， 所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此　sin（--）＝sin(-). 即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-), 整理得　sincos(-)=0.因为　＞0，且x∈R,所以　cos（-）＝0. 又因为　0＜＜π，故　-＝.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos. 由题意得　　　 故　　　　f(x)=2cos2x. 因为　　　 （Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 　

　 当　　　　　2kπ≤≤2 kπ+ π

　(k∈Z),

　 即　　　　　4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.

　 因此g(x)的单调递减区间为　　　　　(k∈Z) （18）（本小题满分12分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

　(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). (Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

　所以ε的分布列为 ε 0 1 2 3 P

　ε的数学期望为　Eε=

　解法二：根据题设可知 因此ε的分布列为

　（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

　由互斥事件的概率公式得

　解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). = (19)(本小题满分12分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

　a1 a2

　a3 a4

　 a5

　a6 a7

　a8

　 a9

　a10 …… 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足＝1=（n≥2）. (Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和. (Ⅰ)证明：由已知，

　 1,

　n=1

　-

　 n≥2.

　（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.

　 因为　　　

　 　所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，

　 　故 a82在表中第13行第三列，

　 　因此

　 　又　　

　 　所以 q=2.

　记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

　 　则（k≥3）. (20)(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD;

　（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形. 因为

　E为BC的中点，所以AE⊥BC.

　又

　 BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而

　PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A， 所以

　AE⊥平面PAD，又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD.

　（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知

　 AE⊥平面PAD， 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=， 所以

　当AH最短时，∠EHA最大， 即

　 当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时

　tan∠EHA= 因此

　 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°， 所以

　PA=2. 解法一：因为

　 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

　 所以

　 平面PAC⊥平面ABCD.

　 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

　 过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

　在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

　又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

　又

　 在Rt△ESO中，cos∠ESO=

　即所求二面角的余弦值为 解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以 E、F分别为BC、PC的中点，所以

　A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（）， 所以

　设平面AEF的一法向量为 则 因此 取 因为

　BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以

　 BD⊥平面AFC， 故

　 为平面AFC的一法向量. 又

　 =（-）， 所以

　cos＜m, ＞= 因为

　 二面角E-AF-C为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 （21）（本小题满分12分） 已知函数其中n∈N*,a为常数. （Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，

　 当n=2时，

　所以

　（1）当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1，＜1， 此时

　f′（x）=. 当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增. （2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时， 当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为 当a≤0时，f(x)无极值. （Ⅱ）证法一：因为a=1,所以

　当n为偶数时， 令 则 g′（x）=1+＞0（x≥2）. 所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又

　g(2)=0 因此≥g(2)=0恒成立，

　 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时，

　 要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,

　 令

　h(x)=x-1-ln(x-1),

　 则

　h′（x）=1-≥0（x≥2）,

　 所以

　 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，

　所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时，

　 当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，

　 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.

　 令

　 则

　 当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，

　 因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

　 故　　当x≥2时，有≤x-1.

　 即f（x）≤x-1.

　(22)(本小题满分14分) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意设

　由得，则

　所以

　因此直线MA的方程为 　　　　　　　　直线MB的方程为

　所以

　 ①

　② 由①、②得　　 因此　，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，

　 将其代入①、②并整理得：

　 　 　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，

　 因此

　 又

　 所以

　 由弦长公式得

　　　　　又，

　 所以p=1或p=2，

　 因此所求抛物线方程为或 （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),

　 则CD的中点坐标为

　 　设直线AB的方程为

　 　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

　 　代入得

　 　若D（x3,y3）在抛物线上，则

　 　因此　x3=0或x3=2x0.

　 即D(0，0)或

　 （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.

　 （2）当，对于D(0，0)，此时

　 　　又AB⊥CD， 所以 即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴， 又 所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.