袁晓惠， 杜 让， 胡 茜

(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)

股票价格能够体现一个国家的经济状况，股市的波动也时刻影响着个人和企业对股票的投资情况。当前，中国经济飞速发展，国家经济市场面临机遇和挑战，经济主体潜在的风险和不确定性日益凸显，基于线性相关系数的分析方法不再适用于研究股票市场的发展。基于此，黄义[1]研究了金融股票市场与房地产市场价格指数的动态相关性。袁晓惠等[2]针对我国2011-2018年消费者信心指数的经济数据拟合阈值自回归模型，选出模型的自回归参数,并估计阈值点。马育欣等[3]对股票收盘价序列进行经验模式分解(EMD)，并对分解后的本征模函数(IMF)与残差序列分别拟合ARMA-GARCH模型。

近20年来，双AR(p)模型受到人们的关注，Francq C等[4]针对非线性过程提出双AR(p)模型，可作为一种弱ARMA模型；
Ling S[5]研究了双AR(p)模型的平稳遍历条件，得出模型中参数的极大似然估计是渐近正态的结论；
Zhu K等[6]研究双AR(p)模型的拟极大似然估计，发现该方法比加权一乘方法更具优越性；
玄海燕等[7]提出双AR(p)模型的一种混成检验，再次验证了双AR(p)模型在股价预测中的优越性。

目前有关该模型的研究大多局限于对均值的建模，假定误差项服从正态分布。当数据为非正态时，模型的拟合效率会降低，甚至错误推断。作为一类稳健模型，分位数回归不仅放宽了模型假设，还可以刻画不同分位点上的数据表现，成为稳健统计分析的首选模型之一[8-10]。对于经典的双AR(p)模型，其分位数回归参数估计的计算较难实现。Zhu Q等[11]修正了模型假设，将之转化成线性形式，从而在一般分位数回归的理论框架下讨论参数估计。然而，针对经典双AR(p)模型分位数回归的计算问题，我们至今未检索到相关文献。因此，文中尝试在双AR(p)模型的基础上对其分位数回归进行计算。

在线性分位数回归问题的研究中，Tian Y等[12]将EM算法引入线性复合分位数回归模型，通过迭代加权进行最小二乘估计；
Yang F[13]提出了一种分位数回归模型的随机EM算法，估计效果良好。

文中运用EM算法对双AR(p)分位数回归模型进行参数估计，提出了两阶段迭代加权估计，并考察其在不同分位点上的表现。模拟研究表明，文中所提EM算法在分位数回归估计中表现出色。

考虑经典的双AR(p)模型[5-6]

(1)

其中，φi∈R，ω>0，βi≥0(1≤i≤p)，并且{εt}是独立同分布的白噪声序列。令

φ=(φ1,φ2,…,φp)T，

β=(β1,β2,…,βp)T，

Y1t=(yt-1,yt-2,…,yt-p)T，

则模型表示为

(2)

通常假定{εt}是正态白噪声，可以得到模型参数的最小二乘估计。

研究此模型在不同分位点上的表现，类似于Koenker R等[8]提出的分位数回归理论，第τ分位点下的估计为

(3)

其中，Θ={φ,ω,β}，ρτ(μ)=μ{τ-I(μ<0)}是分位数回归的损失函数，I(·)为示性函数。但上述优化问题的求解较为困难，文中通过构造EM算法求解此模型的参数估计。

2.1 似然

在分位数回归领域，非对称拉普拉斯分布(ALD)越来越受到关注，根据Yu K等[9]基于ALD似然函数的贝叶斯分位数回归思想，最小化目标损失函数

ρτ(μ)=μ{τ-I(μ<0)},

(4)

相当于在ALD误差下最大化似然函数。ALD的概率密度函数为

(5)

式中:μ----位置参数;

σ----尺度参数;

τ----偏度,τ∈(0,1)。

即使对真实值的估计有一定的误差，估计结果依旧是稳健的。

运用Kozumi H等[10]提出的概率重构方法，将式(4)置于误差分布为非对称拉普拉斯分布的极大似然估计理论上。该误差项{εt}的分布可以表示为指数分布和正态分布的混合表达：

(6)

其中，

vt～exp(1),

et～N(0,1)。

令

γ=(ω,β)T，

ht(γ)=ω+βTY2t=γTY3t，

则模型等价于

(7)

则有

exp{-vt},

(8)

vt的条件概率密度函数为

(9)

由此得到

(10)

完全数据{yt,vt}下的条件似然函数为

(11)

取对数，求得对数似然

(12)

2.2 算法

对于含有潜变量的概率模型参数估计问题，通过EM算法迭代可以进行局部最优求解。令Θ=(φ,γ)，设初始值为Θ(0)，给定第t次迭代值Θ(t)，然后利用EM算法通过迭代E步和M步来搜索模型的极大似然估计值。该算法从Θ(0)开始迭代，然后在两步之间交替。E表示期望，M表示最大化，EM算法计算过程如下:

E步：基于第t次的迭代值Θ(t)，似然函数第(t+1)次的期望值为

Q(Θ|Θ(t))E[l(Θ|yt,vt)|Θ(t)]=

(13)

M步：将E步中的Q函数最大化，求导得到估计方程

令导函数为零，有

(15)

求解，得到第(t+1)步φ的估计值为

(16)

(17)

得到γ的估计

(18)

(19)

γ2即为所求γ的估计值。

具体算法过程如下：

1)设定初值(φ,γ)(0)，由E步计算出Q(φ(1)|(φ,γ)(0))；

4)将得到的(φ,γ)(1)估计值返回1)，重复1)～3)，当满足条件‖(φ,γ)(t+1)-(φ,γ)(t)‖≤10-5时，停止迭代；

5)对γ的估计值标准化，最终得到参数估计结果。

BIC准则又称贝叶斯信息准则，可用于模型的选择，通过加入模型复杂度的惩罚项来避免过拟合问题。借鉴Wang H等[14]提出的广义贝叶斯信息准则，得到：

(2p+1)log(n-pmax),

(20)

其中p在{1,2,…,pmax}上搜索，pmax为给定的最大阶数，n为样本量，Q为EM算法中E步似然函数期望值。

通过模拟验证双AR(p)分位数回归模型在有限样本下的表现，基于模型

产生随机数。其中，εt(τ),ht(γ)的形式参见式(6)。

设定回归系数为

φ=(φ1,φ2)T=(0.1,0.2)T,

γ=(ω,β1,β2)T=(0.2,0.5,0.2)T。

4.1 参数估计

对上述分位数回归模型进行拟合，令n=100、500和1 000。分别讨论分位点τ为0.3、0.5和0.7时的估计，通过EM算法迭代,并进行1 000次模拟试验，列出相应参数估计值的偏度、标准差和均方误结果。不同分位点τ参数估计模拟结果分别见表1～表3。

表1 参数估计模拟结果(τ=0.3)

表2 参数估计模拟结果(τ=0.5)

表3 参数估计模拟结果(τ=0.7)

以上结果可以看出，随着样本量的增大，三个分位点下估计的均方误都减小，说明估计具有相合性，EM算法在模型估计中表现较好。

4.2 BIC定阶

通过BIC准则对双AR(p)分位数回归模型进行参数选择，在4.1节模拟的基础上，假定最大阶数pmax为4，在{1,2,…,pmax}上搜索最优阶数，通过式(20)求出BIC值最大时对应的阶数p，即为最优阶数。

以τ=0.5为例，通过模型

从表中可以看出，在对角线上元素的取值最高，即模型选到与真值相同阶数的频率很高。当n=300时，BIC准则选择效果明显好于n=100，说明BIC准则进行模型选阶，样本量较大时，结果更为准确。

表4 BIC待选频数表

研究金融市场的发展规律，一般选取综合性强，能反映经济整体趋势发展的指数，以确保结论能够符合大多数情况，沪深300指数(399300)可以反映中国证券市场股票价格变化的整体趋势。因此,文中选取沪深300指数的部分收盘价数据进行分析，以2018年1月2日至2021年7月27日的收盘价数据作为观测值，2021年7月28日至2021年7月30日的数据作为预测值数据，共870个样本。数据来源于网易财经(http://quotes.money.163.com/1399300.html)。

沪深300指数收盘价数据的时间序列图和ACF图如图1所示。

(a) 时序图 (b) ACF图

由时序图可知，在有限时间内，观测数据波动性较大，数据不平稳。由ACF图可以看出,样本数据具有很强的自相关性。由于文中研究的模型在所给条件下是严平稳的，我们对原始数据进行平稳化处理，采用一阶对数差分变换，并做单位根检验，检验的p值小于0.01，即变换后的数据为平稳序列。

对处理后的数据作回归分析，分别对τ取0.3、0.5和0.7，通过BIC准则在p={1,2,3,4}上选取合适的阶数，结果见表5。

表5 最优阶数选择BIC值

可以看出，在三个分位点上，BIC最大时对应的p值均为1，所以,文中选取双自回归维数p=1。应用双AR(p)分位数回归模型对沪深300指数进行模拟，分别得到在τ分位点为0.3、0.5和0.7上的三种模型估计，估计结果见表6。

表6 参数估计结果

由此得到如下模型。

模型一(τ=0.3)：

yt=-0.006 60Y1t+

模型二(τ=0.5)：

yt=-0.006 64Y1t+

模型三(τ=0.7)：

yt=-0.004 35Y1t+

基于以上三种模型对2021年7月28日至2021年7月30日的股价进行预测，结果见表7。

表7 预测结果

由表7可以看出，不同分位点下的预测值和真实数据都非常接近，且变化趋势相近，说明文中提出的模型对沪深300指数的预测结果较为准确，模型是有效的。

考虑双AR(p)分位数回归模型，首先运用EM算法分别对不同分位点下的参数进行估计。模拟研究发现，参数中对非零真值估计的均方误很小，且随着样本量的增大，均方误也越来越小，估计效果较好；
其次,通过BIC准则选取模型阶数的最佳p值，阶数选择结果准确，正确率较高。最后对沪深300指数的股价数据进行实证研究，验证了模型的有效性。

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