张鹏举 戚晨皓

(东南大学 信息科学与工程学院， 南京 210096)

在“数字信号处理”课程中，相关计算占据重要地位，它在雷达、声呐和地震波分析等信号处理中的应用尤其广泛[1]。它的定义类似于卷积计算，在课程教学中，线性卷积与循环卷积之间的转化关系以及基于线性卷积的循环卷积计算方法已经得到充分研究[2]。而相关文献对于线性相关和循环相关的转化关系以及计算方法的研究甚少，所以有必要结合相关计算和卷积计算的关系[3-4]，对其作一些探讨和研究，以期达到激发学生兴趣，引导学生对已学知识进行延拓的目的。

首先介绍了已知的线性卷积和循环卷积的转化关系以及基于线性卷积的循环卷积计算方法，随后引入了线性相关和循环相关的定义[5]，并研究了循环相关、周期相关与线性相关之间的转化关系，提出了基于线性相关的不同点数循环相关快速计算方法。最后通过Matlab实例，验证了相比于直接根据定义计算循环相关的方法，提出的方法是有效的并且能显著提高计算效率。

设两个有限长序列x1(n)、x2(n)的长度分别为N1、N2，则x1(n)和x2(n)之间的线性卷积的定义为

(1)

x1(n)和x2(n)之间的循环卷积的定义为

yc(n)=x1(n)x2(n)

(2)

式(2)中，((n))L表示n对L求余数，RL(n)为矩形序列

(3)

即

(4)

(5)

则周期卷积为

(6)

从式(6)中可以看出，周期卷积是循环卷积的周期延拓，而循环卷积又是周期卷积的主值序列，因此可以通过线性卷积的计算结果得到循环卷积结果，将线性卷积进行周期为L的周期延拓并取其主值区间0≤n≤L-1，这样就可以得到循环卷积的结果。

受到循环卷积与线性卷积之间转化关系的启发，现推导循环相关与线性相关之间的转化关系。

有限长序列x1(n)和x2(n)之间的线性相关的定义为

(7)

它反映了两个有限长序列x1(n)和x2(n)的相似程度，式(7)表示将x1(n)右移相乘相加，n代表移位的样本个数。线性相关包括移位、相加和相乘三种基本运算[6]。它和线性卷积运算是相似的，但是没有线性卷积中围绕纵轴折叠的过程。另外线性相关是不满足交换律的，rx1x2(n)=rx1x2(-n)，当x1(n)=x2(n)，计算得到的相关函数为自相关函数，即rx1x1(n)。

x1(n)和x2(n)之间的循环相关的定义为

(8)

周期相关的定义为

(9)

从式(9)中可以看出，与卷积相同，周期相关同样可以看做是线性相关的周期延拓，而循环相关又是周期相关的主值序列，因此可以考虑通过线性相关计算结果得到循环相关结果。

对比线性相关和循环相关的定义式(7)和(8)可以看出，循环相关计算所涉及的移位运算是循环移位，而不是线性移位；
循环相关计算中的求和是由固定的L个部分相加而成，而线性相关中的叠加项数随序列x2(n)的长度N2而变化；
循环相关必须首先确定周期L，假设两个序列的长度分别为N1、N2，则L必须满足L≥max{N1,N2}。如果序列长度小于L，则必须通过补零将序列长度统一扩展到L；
循环相关的结果的长度为L，而线性相关的结果的长度为N1+N2-1，如果L≥N1+N2-1，那么线性相关和循环相关的结果相同；
线性相关计算结果的下标范围为[0,N1+N2-2]，循环相关计算结果的下标范围是关于纵轴对称的，为[-N1+1,N2-1]。

经过式(9)的推导，在计算循环相关时，可以利用线性相关的周期延拓来计算周期相关，再取周期相关的主值区间就可以得到循环相关结果。

算法1 基于线性相关的不同点数循环相关快速计算方法输入:rx1x2(n),L将rx1x2(n)向右或向左平移L位后的序列与rx1x2(n)相叠加得到取的主值区间[0,L-1]的数据得到L点循环卷积结果rcx1x2(n)输出:rcx1x2(n)

(10)

图1 x1 (n)和x2 (n)的线性相关和循环相关的仿真示例1

图2 x1(n)和x2(n)的线性相关和循环相关的仿真示例2

在以上两种仿真情景下，考虑计算出满足max{N1,N2}≤L≤N1+N2-1条件的所有点数循环相关，将根据循环卷积的定义直接计算的方法和本文提出的计算方法的运算时间进行比较(表1)，仿真基于Matlab R2018b软件，仿真环境为带有3.4 GHz AMD Ryzen 5 2600的6核CPU和16 GB内存的台式电脑。从表1中可以看出，本文提出的方法能显著提高计算效率。

表1 不同循环卷积计算方法的仿真运行时间对比(ms)

“数字信号处理”课程通常只介绍线性卷积与循环卷积的等价关系的理论部分，并未涉及线性相关和循环相关，由于比较抽象，学生掌握时具有一定难度。首先引入线性卷积和循环卷积的转化关系，通过卷积和相关的联系，进一步推导出了线性相关和卷积相关的转化关系，并提出了基于线性相关的不同点数循环相关快速计算方法，结果表明，该算法能显著提高计算效率。

在未来的教学研究工作中，将结合具体的应用场景进一步研究线性相关、循环相关、线性卷积、循环卷积的快速计算方法，充分发掘快速傅里叶变换的优势，提高计算效率，降低存储量，减少运算时间。

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