2019-2020学年市一中等六校高二上学期期中数学试题 一、单选题 1．某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（　　） A．45 B．60 C．50 D．54 【答案】D 【解析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值． 【详解】 解：根据题意可得=，求得 n=54， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题． 2．设m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系． 【详解】 解：m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β， 则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”，反之两平面可能相交，不成立． ∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】 本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为（　　） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为：∀x∈（0，+∞），lnx＜x2-1． 故选：C． 【点睛】 本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4．从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（　　） A．恰有一个红球与恰有两个红球 B．至少一个红球与至少一个白球 C．至少一个红球与都是白球 D．至少一个红球与都是红球 【答案】A 【解析】利用互斥事件与对立事件的定义直接求解． 【详解】 解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球， 在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；

在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，不能同时不发生， 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误；

在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 【点睛】 本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知椭圆，则以点M（-1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程． 【详解】 解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴，，两式相减得， ∴=-•，① 又∵M（-1，1）为AB的中点， ∴x1+x2=-2，y1+y2=2代入①式得=， 即kAB=， ∴直线AB方程为y-1=（x+1），即4x-5y+9=0． 故选：B． 【点睛】 本题考查“点差法”，考查基本分析求解能力，属中档题． 6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果． 【详解】 解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点， 设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， A（1，0，0），M（0，，1），B（1，1，0），D（0，0，0）， =（-1，，1），， =， 所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为， 故选：C． 【点睛】 本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题． 7．一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出基本事件总数n==15，抽到都是正品包含的基本事件个数m==6，由此能求出抽到都是正品的概率． 【详解】 解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品， 基本事件总数n==15， 抽到都是正品包含的基本事件个数m==6， 则抽到都是正品的概率是p=． 故选：B． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是，，标准差分别是s1，s2，则下列说法正确的是（　　） 甲 乙       98 8       5   6  88 210 9 3 A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【解析】由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可． 【详解】 解：由茎叶图中数据，计算平均数为 =×（88+89+90+91+92）=90， =×（85+86+88+88+93）=88， 标准差为s1==， s2==， ∴＞，s1＜s2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题． 9．已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离． 【详解】 解：抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=-， 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3 解得y1+y2=， ∴线段AB的中点纵坐标为， ∴线段AB的中点到x轴的距离为， 故选：C． 【点睛】 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离． 10．双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可得AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值． 【详解】 解：由|AF1|==2，三角形APF1的周长的最小值为6， 可得|PA|+|PF1|的最小值为4， 又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a， 当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2， 即有2+2a=4，即a=1，c=， 可得e==． 故选：B． 【点睛】 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 11．如图，在直三棱柱中，，，点G与E分别为线段和的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点。若，则线段DF长度的最小值是（ ） A． B． 1 C． D． 【答案】C 【解析】略 12．已知椭圆的左、右顶点分别为， 为椭圆的右焦点，圆上有一动点， 不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， ． 设点的坐标为，则 ． ∴， 又且， ∴或， 故的取值范围为．选D． 二、填空题 13．已知向量，，若，则实数λ=______． 【答案】-10 【解析】利用向量垂直的性质直接求解． 【详解】 解：∵向量，，， ∴=λ+6+4=0， 解得实数λ=-10． 故答案为：-10． 【点睛】 本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为______． 【答案】-=1 【解析】由题意，设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，代入点解出m即可． 【详解】 解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1， 则由题意可得， 3-1=m， 故m=2， 故双曲线方程为-=1． 故答案为：-=1． 【点睛】 本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题． 15．若命题：∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】a≤3 【解析】根据命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，得出不等式a≤x2-2x在x∈[0，3]能成立；
求出f（x）=x2-2x在x∈[0，3]内的最大值，即可求得实数a的取值范围． 【详解】 解：命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题， 即a≤x2-2x在x∈[0，3]能成立；

设f（x）=x2-2x，其中x∈[0，3]；

则f（x）=（x-1）2-1， 且当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=3， 所以实数a的取值范围是a≤3． 故选：a≤3． 【点睛】 本题考查根据命题真假求参数，是基础题． 16．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

②曲线表示焦点在y轴上的椭圆，则；

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点． 其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】①根据双曲线的定义知|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支；

②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；

③求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；

④分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否相同即可． 【详解】 解：对于①，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支，∴①错误；

对于②，令，解得＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴②正确；

对于③，解方程2x2-5x+2=0，得x=或x=2；
可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；

对于④，双曲线中，c==，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）；

椭圆中，c′==，焦点坐标为F1′（-，0）、F2（，0）， 它们的焦点相同，∴④正确；

综上知，其中真命题的序号是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】 本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是基础题． 三、解答题 17．已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[3，+∞）；
（2）（-∞，4]. 【解析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件． （2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出． 【详解】 解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}． 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A， 所以，或， 所以，，或， 所以a≥3． 所以，实数a的取值范围是[3，+∞）． （2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}． 由x2-mx+4≥0，得， 则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立． 实数m的取值范围（-∞，4]． 【点睛】 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4． （1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|． 【答案】（1）y2=4x；
（2）8. 【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；

（2）求得直线l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 【详解】 解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-， ∵|MF|=4，由抛物线的定义可得， ∴p=2．故所求抛物线方程为y2=4x；

（2）由（1）得p=2，焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1， 并设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y，得x2-6x+1=0， 所以x1+x2=6， 可得x1+x2+p=8， 所以|AB|=8． 【点睛】 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 19．某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：
单价x（元） 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 销量y（万件） 80 74 73 70 65 58 数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系． （1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程；

（2）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使加工后收益P最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）． 参考公式：==， 【答案】（1）；
（2）6.5元. 【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；

（2）由题意写出收益函数P的解析式，求出P取最大值时对应的x值即可． 【详解】 解：（1）由题意得，=×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5， =×（80+74+73+70+65+58）=70；

则， ；

所以 ， 所以所求回归直线方程为． （2）由题意可得，， 整理得P=-20（x-6.5）2+245， 当x=6.5时，P取得最大值为245；

所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元． 【点睛】 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题． 20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，． （1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）详见解析；
（2）存在，． 【解析】（1）由已知先证明AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC． （2）假设存在．设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且（λ∈[0，1]），求出，解得λ的值，即可求解． 【详解】 解：（1）因为侧面AA1C1C是矩形， 所以AA1⊥AC， 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 所以AA1⊥平面ABC． （2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB． 由题意知AB=2，AC=1，， 所以AB⊥AC， 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A（0，0，0），B（0，2，0），，， 假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，其中，，， 设（λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═， 解得x1=λ，y1=2-2λ，， 所以． 若在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B， 则，即， 得4-6λ=0，解得， 因为， 所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时． 【点睛】 本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题． 21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x的值；

（2）求这组数据的中位数；

（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率． 【答案】（1）0.02；
（2）75；
（3）0.4 【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；

（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；

（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率． 【详解】 解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02． （2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A， 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4． 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题． 22．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为． （1）求椭圆C的方程；

（2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点． （ⅰ）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；

（ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时l的斜率． 【答案】（1）；
（2）（ⅰ）详见解析；
（ⅱ）△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±. 【解析】（1）由题意得，解得即可求出方程， （2）（i）设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出， （ii）先根据弦长公式求出|AB|及原点到直线的距离，再令=t，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出． 【详解】 解：（1）由题意得，解得， ∴a2=2，b2=a2-c2=1， ∴椭圆C的方程为；

（2）（ⅰ）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 由题意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0， ∴△=8（2k2-3）＞0，即， 由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=， ∴，， ∴，∴， ∴直线OM与l的斜率乘积为定值． （ⅱ）由（ⅰ）可知：
， 原点到直线AB的距离为 令=t，则t＞0， ∴S△AOB==≤=， 当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0， ∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±． 【点睛】 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式，属于中档题．