1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）

　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

　第I卷（选择题共60分）

　一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

　1.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

　(

　) (A) （M∩P）∩S (B) （M∩P）∪S (C) （M∩P）∩ (D) （M∩P）∪ 2.已知映射：，其中，集合 集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是 (

　) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 3. 若函数的反函数是，则等于 (

　) (A) a (B)

　(C)

　(D)

　4.函数在区间上是增函数，且则函数在上 (

　) (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值 5.若是周期为的奇函数，则可以是 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　6.在极坐标系中，曲线关于 (

　) (A) 直线轴对称 (B) 直线轴对称 (C) 点中心对称 (D) 极点中心对称 7.若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面的高度为，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　8.若则的值为 (

　) (A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2 9.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　 10.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 (

　) (A)

　(B) 5 (C) 6 (D)

　11.若则 (

　) (A)

　(B)

　(C)

　(D)

　12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R= (

　) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 13.已知两点给出下列曲线方程：

　①

　②

　 ③

　 ④ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 (

　) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③④ 14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 (

　) (A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种

　第II卷（非选择题共90分）

　二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 15.设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的率心率是_____ 16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答） 17.若正数、满足则的取值范围是______________ 18.、 是两个不同的平面，、是平面及 之外的两条不同直线，给出四个论断：

　①⊥ ②⊥

　③⊥ ④⊥ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________________________

　三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分10分） 解不等式 20.（本小题满分12分） 设复数求函数的最大值以及对应的值. 21.（本小题满分12分） 如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面∥，且面与底面所成的角为 Ⅰ.求截面的面积； Ⅱ.求异面直线与AC之间的距离； Ⅲ.求三棱锥的体积. 22.（本小题满分12分）

　右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出. Ⅰ.输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率） Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为为了便于检修，请计算、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）. 轧锟序号 1 2 3 4 疵点间距（单位：）

　1600 23.（本小题满分14分） 已知函数的图像是自原点出发的一条折线，当时，该图像是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义. Ⅰ.求、和的表达式； Ⅱ.求的表达式，并写出其定义域； Ⅲ.证明：的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

　24.（本小题满分14分） 如图，给出定点和直线是直线上的动点，的角平分线交于点.求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系.

　1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答

　一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）. 1. C

　2. A

　3. A

　4. C

　5. B

　6. B

　7. B

　8. A

　9. C

　10. D 11.B

　12. D 13.D

　 14. C

　二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）. 15.

　 16. 12

　17.

　18. 或

　三、解答题 19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想. ① ② ③ 解：原不等式等价于

　由①得 由②得或， 由③得 由此得 或 当时得所求的解是 ； 当时得所求的解是

　20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力. 解：由得 由得及

　故

　 因为 所以 当且仅当时，即时，上式取等号. 所以当时，函数取得最大值

　由得由于在内正切函数是递增函数，函数也取最大值

　 21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. Ⅰ. 解：如图，连结BD交AC于O，连结EO 因为底面ABCD是正方形， 所以DO⊥AC 又因为ED⊥底面AC， 因为EO⊥AC 所以∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.

　所以

　故 II. 解：由题设是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC， 又⊥

　所以是异面直线与AC间的公垂线.

　 因为∥面EAC，且面与面EAC交线为EO 所以∥EO 又O是DB的中点， 所以E是的中点，=2EO =2 所以 异面直线与AC间的距离为

　Ⅲ. 解法一：如图，连结 因为=DB= 所以是正方形， 连结交于P，交EO于Q 因为⊥，EO∥， 所以⊥EO 又AC⊥EO，AC⊥ED 所以AC⊥面， 所以⊥AC， 所以⊥面EAC. 所以是三棱锥的高. 由DQ=PQ，得 所以 所以三棱锥的体积是 解法二：连结，则

　因为AO⊥面， 所以AO是三棱锥的高，AO 在正方形中，E、O分别是、DB的中点（如右图），则

　∴ 所以三棱锥的体积是

　22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力. Ⅰ.解：厚度为的带钢经过减薄率均为的对轧辊后厚度为

　为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

　即

　 由于对比上式两端取对数，得

　由于 所以 因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊.

　Ⅱ. 解法一：第对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为 宽度 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 宽度. 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

　即

　由此得

　 填表如下

　 轧锟序号 1 2 3 4 疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600 解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有

　所以

　同理

　填表如下 轧锟序号 1 2 3 4 疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600 23.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力. Ⅰ.解：依题意，又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由

　得 又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由 ，即得

　记由函数图像中第段线段的斜率为，故得

　又； 所以

　由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为 因得

　即

　Ⅱ. 解：当，从Ⅰ可知当时， 当时，即当时，由Ⅰ可知

　为求函数的定义域，须对 进行讨论. 当时，； 当时，也趋向于无穷大. 综上，当时，的定义域为； 当时，的定义域为.

　Ⅲ. 证法一：首先证明当，时，恒有成立. 用数学归纳法证明：

　（ⅰ）由Ⅱ知当时,在上,

　所以成立 （ⅱ）假设时在上恒有成立. 可得

　在上, 所以

　也成立. 由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数在上都有成立. 即

　时,恒有. 其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立. 故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

　证法二:首先证明当,时,恒有成立. 对任意的存在,使，此时有

　所以 又 所以， 所以， 即有成立. 其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立. 故函数的图像与的图像没有横坐标大于1的交点.

　24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力. 解法一：依题意，记则直线OA和OB的方程分别为和 设点，则有，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得

　 ① 依题设，点C在直线AB上，故有

　由，得

　②

　将②式代入①式得

　整理得

　若，则； 若，则，点C的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C的轨迹方程为

　（ⅰ）当时，轨迹方程化为

　 ③ 此时，方程③表示抛物线弧段； （ⅱ）当时，轨迹方程化为

　④ 所以，当时，方程④表示椭圆弧段； 当时，方程④表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图，设D是与轴的交点，过点C作CE⊥轴，E是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C（，），则 由CE∥BD得

　 因为∠COA=∠COB =∠COD－∠BOD =－∠COA－∠BOD， 所以2∠COA=－∠BOD 所以

　因为

　所以 整理得 （ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA = ，则点C的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C的轨迹方程为

　以下同解法一.