专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 一、选择题 1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则 A．， B．， C．， D．， 2．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；
q：，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 3．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和= A． B． C． D． 4．（2014浙江）设函数，， ，记 ，则 A． B． C． D． 二、填空题 5．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ． 6．（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ． 7．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则． 8．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________． 三、解答题 9．（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列． (1)设，若对均成立，求的取值范围；

(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 10*．（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）． *根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考． 11．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”． （1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列． 12．（2016年四川）已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中， (Ⅰ)若成等差数列，求数列的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，求． 13．（2016年浙江）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，. （I）求通项公式；

（II）求数列{}的前项和. 14．(2015重庆)已知等差数列满足，前3项和． （Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，求前项和． 15．（2015天津）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，． （Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，，求数列的前项和． 16．(2015四川)设数列（=1,2,3…）的前项和满足，且，+1，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求． 17．（2015湖北）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记=，求数列的前项和． 18．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令=求数列的前项和． 19．（2014浙江）已知数列和满足．若为等比数列，且 （Ⅰ）求与；

（Ⅱ）设．记数列的前项和为． （ⅰ）求；

（ⅱ）求正整数，使得对任意，均有． 20．（2014湖南）已知数列{}满足 （Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式． 21．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）． （Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和． 22．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”． （Ⅰ）若数列的前n项和(N)，证明: 是“H数列”；

（Ⅱ）设 是等差数列，其首项，公差．若 是“H数列”，求的值；

（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立． 23．（2013安徽）设数列满足，，且对任意，函数 ，满足 （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和． 24．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足 且构成等比数列． （Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有． 25．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列， 且. （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；

若不存在，说明理由． 26．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数. （Ⅰ） 若，且，，成等比数列，证明：；

（Ⅱ） 若是等差数列，证明：． 27． (2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且． （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和． 28．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元． （Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）． 29．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，，数列满足，． （Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前项和． 30．（2012山东）在等差数列中，， （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和． 31．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：． （Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值． 32．（2011天津）已知数列满足， ． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明是等比数列；

（Ⅲ）设为的前项和，证明 33．（2011天津）已知数列与满足：， ，且． （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明：是等比数列；

（Ⅲ）设证明：． 34．（2010新课标）设数列满足 （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和． 35．（2010湖南）给出下面的数表序列：
其中表（=1,2,3 ）有行，第1行的个数是1，3，5，，21，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和． （Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（≥3）（不要求证明）；

（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，，记此数列为，求和：
． 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 1．B【解析】解法一 因为()，所以 ，所以，又，所以等比数列的公比． 若，则， 而，所以， 与矛盾， 所以，所以，， 所以，，故选B． 解法二 因为，， 所以，则， 又，所以等比数列的公比． 若，则， 而，所以 与矛盾， 所以，所以，， 所以，，故选B． 2．A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；

对命题， ①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式， 等式成立， 则，所以成等比数列， 所以是的充分条件，但不是的必要条件． 3．A【解析】，，成等比数列，∴，即，解得，所以． 4．B【解析】∵在上单调递增，可得， ，…，， ∴ = ∵在上单调递增，在单调递减 ∴，…，，， ，…， ∴ == = ∵在，上单调递增，在，上单调递减，可得 因此． 5．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
……；
当时，= 441 +62= 503<，不符合题意；
当时，=484 +62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27． 6．【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以． 7．64【解析】由且成等比数列，得，解得，故． 8．【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是． 因此，所以． 9．【解析】(1)由条件知：,． 因为对=1，2，3，4均成立， 即对=1，2，3，4均成立， 即11，13，35，79，得． 因此，的取值范围为． (2)由条件知：,． 若存在，使得(=2，3，···，+1)成立， 即(=2，3，···，+1)， 即当时，满足． 因为，则， 从而，，对均成立． 因此，取=0时，对均成立． 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当时，， 所以单调递减，从而． 当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，的取值范围为． 10．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时， 假设时，， 那么时，若，则，矛盾，故． 因此 所以 因此 （Ⅱ）由得 记函数 函数在上单调递增，所以=0， 因此 故 （Ⅲ）因为 所以得 由得 所以 故 综上， ． 11．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则， 从而，当时， ， 所以， 因此等差数列是“数列”. （2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此， 当时，，① 当时，.② 由①知，，③ ，④ 将③④代入②，得，其中， 所以是等差数列，设其公差为. 在①中，取，则，所以， 在①中，取，则，所以， 所以数列是等差数列. 12．【解析】（Ⅰ）由已知， 两式相减得到. 又由得到，故对所有都成立. 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列. 从而. 由成等差数列，可得，所以，故. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以双曲线的离心率. 由解得.所以， 13．【解析】（1）由题意得：，则， 又当时，由， 得， 所以，数列的通项公式为. （2）设，，. 当时，由于，故. 设数列的前项和为，则. 当时，， 所以，. 14．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得 化简得 解得，． 故通项公式，即． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 设的公比为，则，从而． 故的前项和 ． 15．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有 消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为，则 ， ， 两式相减得， 所以． 16．【解析】(Ⅰ) 由已知，有 =(n≥2)，即(n≥2)， 从而，． 又因为，+1，成等差数列，即＋＝2(＋1)， 所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2． 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． (Ⅱ)由(Ⅰ)得， 所以＝． 17．【解析】（Ⅰ）由题意有， 即， 解得 或 故或 （Ⅱ）由，知，，故，于是 ， ① ． ② ①－②可得 ， 故． 18．【解析】（Ⅰ） 解得 （Ⅱ）， 当为偶数时 ． 19．【解析】（Ⅰ）由题意，，， 知，又由，得公比（舍去）， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为，；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，， 所以；

（ii）因为；

当时，， 而， 得， 所以当时，， 综上对任意恒有，故． 20．【解析】（I）因为是递增数列，所以。而， 因此又成等差数列，所以，因而， 解得 当时，，这与是递增数列矛盾。故. （Ⅱ）由于是递增数列，因而，于是 ① 但，所以 . ② 又①，②知，，因此 ③ 因为是递减数列，同理可得，故 ④ 由③，④即知，。

于是 . 故数列的通项公式为． 21．【解析】（Ⅰ）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以 因为点在函数的图象上，所以，所以 又，所以 （Ⅱ）由，函数的图象在点处的切线方程为 所以切线在轴上的截距为，从而，故 从而，， 所以 故． 22．【解析】（Ⅰ）当时， 当时， ∴时，，当时，，∴是“H数列”． （Ⅱ） 对，使，即 取得， ∵，∴，又，∴，∴． （Ⅲ）设的公差为d 令，对， ，对， 则，且为等差数列 的前n项和，令，则 当时；

当时；

当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数， 因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”． 的前ｎ项和，令，则 ∵对，是非负偶数，∴ 即对，都可找到，使得成立，即为“H数列” 因此命题得证． 23．【解析】（Ⅰ）由， 所以， 是等差数列. 而，，，， （Ⅱ） 24．【解析】（Ⅰ）当时，， （Ⅱ）当时，， , 当时，是公差的等差数列. 构成等比数列，，， 解得． 由（Ⅰ）可知， 是首项,公差的等差数列. 数列的通项公式为. （Ⅲ） 25．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，. 由题意得 即 解得 故数列的通项公式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）有 . 若存在，使得，则，即 当为偶数时，， 上式不成立；

当为奇数时，，即，则. 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为． 26．【证明】（Ⅰ）若，则，，又由题， ，， 是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列， ，，，，，， ，（）． （Ⅱ）由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：
关于恒成立．， ． 27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得, 所以通项公式为. （Ⅱ）由，得，即. ∵， ∴是公比为49的等比数列， ∴． 28．【解析】（Ⅰ）由题意得， ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ． 整理得　 ． 由题意， 解得． 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元． 29．【解析】（Ⅰ）由=，得 当=1时，；

当2时，，. 由，得，. （Ⅱ）由（1）知， 所以， ， ，． 30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则 ，， 于是，即. （Ⅱ）对任意m∈，，则， 即，而，由题意可知， 于是 ， 即. 31．【解析】（Ⅰ）由题意知， 所以，从而 所以数列是以1为公差的等差数列． （Ⅱ）．所以， 从而 (*) 设等比数列的公比为，由知下证． 若，则．故当，，与（*）矛盾；

若，则．故当，，与（*）矛盾；

综上：故，所以． 又，所以是以公比为的等比数列，若， 则，于是，又由，得， 所以中至少有两项相同，矛盾．所以，从而， 所以． 32．【解析】（Ⅰ）由，可得 又， 当 当 （Ⅱ）证明：对任意 ① ② ②-①，得 所以是等比数列。

（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时， 故对任意 由①得 因此， 于是， 故 33．【解析】（Ⅰ）由可得 又 当时，，由，，可得；

当时，，可得；

当时，，可得；

（Ⅱ）证明：对任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列. （Ⅲ）证明：由（II）可得， 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即， 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意， 对于=1，不等式显然成立. 所以，对任意 34．【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时， ．而 所以数列{}的通项公式为． （Ⅱ）由知 ① 从而 ② ①-②得 ． 即 ． 35．【解析】（Ⅰ）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将结这一论推广到表（≥3），即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列. 将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列． 简证如下（对考生不作要求） 首先，表的第1行1，3，5，…，是等差数列，其平均数为；
其次，若表的第行，，…，是等差数列，则它的第行，，…，也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是 ，． 由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均数是 由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是表中最后一行的唯一一个数为.因此 ．(=1,2,3, …, )，故 ．