2008-2009高等数学下册期中考试试卷 (考试时间：90分钟) 姓名：
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一、 填空题（） 1、[5分] 求函数在点处沿方向的方向导数 解：由定义 2、[5分]求函数在点的梯度 解 3、[5分]求曲面在点处的切平面方程和法线方程 解 令， 则 从而切平面方程为，即 法线方程为 4、[5分] 交换积分次序 解 积分区域为两个小区域之并 作图得知合并后的区域也可表示为 从而 二、 （8分）设，其中具有二阶连续偏导数，求与 解 从而， 三、 （8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定了是的函数，试求 解：，解出 从而 四、 [8分] 求抛物面与平面之间的最短距离 解：设点在抛物面上，则其到平面的距离为 先求在下的最小值点：
令 则由， 得最小值点，从而最短距离为 五、 [8分]设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。

解：
由曲面得切平面法向量 从而有切平面方程为 由直线得：
从而由该直线必平行于平面知 ；

在由该直线上的点要在平面上得 六、 [8分] 计算，其中 解 令，得 从而 七、 [8分] 计算二重积分，其中 解：
用将区域划分为两个 八、 [8分] 计算，其中为平面曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面所围的区域。

解：由交线知在xoy面上的投影域为 用柱坐标计算 九、 [8分] 设由曲面与所围成的立体中每点的密度与该点到平面距离成正比，试求该立体的质量M 解：由交线知立体在面上的投影域为 用柱坐标计算 十、 求曲面被柱面所截下的有限曲面片的面积。

解：
从而该面积= 十一、 [8分]计算积分，其中是和所围成的空间闭区域。

解：由， 从而在上投影域为，且关于坐标平面都对称， 因此