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　概率统计教学中应重视的四个方面

　冯予

　陈萍

　南京理工大学理学院（

　210094 ）

　随着大学教育的普及，高校间的竞争日益激烈，大学教师也面临着如何优化教学模式，提高教学效

　率的挑战。

　概率统计学科是一门研究随机现象的学科

　,它的思想方法与学生在以前接触过的任何一门学科均有所不同，因而需要学生在较短的时间里接受新事物，并且能够将新学到的知识与日益发展的科学技术联

　系起来。因而，概率与统计学科也是一门极富时代性和创造性的学科。那么，怎样才能使学生在较短的时

　间里取得这样的效果呢

　?这就需要教学工作者们注意教学过程中的四个方面

　——重科学思想的指导、重备课、重演示、重双主体教学模式的采用。

　一、教师在授课中要重视对学生思想方法的指导

　在当今知识爆炸的年代，任何人不要说掌握全部科学知识，即使是全面掌握某一学科的知识都是不 可能的。但各学科都有其特有的学科思想。知识体系就是在这种学科思想的指导下建立起来的。我们教授 学生的目的，不是为了把知识越多越好地灌输给他们，而是要教会他们如何思考，如何用学到的知识去解 决新的问题。如在概率统计中，许多概念抽象、难懂，更有许多人一时无法接受随机的思维方式，若仍采 用严格的数学定义方式，则学生恐怕最终只记住了一些定义、定理，知其然而不知其所以然。尤其是在统 计中，不少初学者只看到了其中大量的公式、方法，为背公式、记步骤而疲于奔命，却不知为什么要用这 些公式、方法。其实，统计问题的许多做法都源于非常朴素的思想，如极大似然估计法源于人们对“已经 发生的事件应有相对较大的概率”

　，假设检验源于“小概率事件不应发生”等想法的认同，如果教师从这些朴素的想法出发，通过一些简单的问题引出概念，如先考虑“一个专业射手和一个普通人中的一位，向

　目标射击了十发，结果命中

　9 发，问是哪个人射击的？”

　，再考虑“已知离散型总体的样本观察值，如何估计总体未知参数？”

　，再推到连续型总体的情形，最后引入似然函数与极大似然估计的概念。这样从学

　生熟悉的问题出发，由浅入深，由特殊到一般的讲述，使学生自然的体会到了“极大似然”的思想，使之掌握这一知识的发生、发展过程，具备了用“极大似然”思想解决问题的能力。

　二、教师在课前应注重备课

　课前备课是每一门学科教学过程中必不可少的第一步

　.概率统计教学也是一样，

　教师必须在课前作出详尽、周密的备课；教师要对教材上的知识进行探索、归纳、总结，以使得这些空洞的知识具有直观性，从

　而加强学生对知识理解的准确性和完善性。尤其应该注重实例的选择，也就是说，要让学生理解一个知识

　点，就必须构造出一个与此知识点相对应的实例，并由此实例排演过程和结果来得出与之相关的结论。这一点是相当重要的，否则，很可能使学生形成一种似是而非的感性认识。另外，在对知识点进行实例构造时，还要特别注意对学生认知水平的全面考虑。在备课过程中应尽可能多的考虑到学生对某个知识点可能

　出现的各种理解， 各个击破， 以加强教学环节的严密性。

　如全概率公式的应用是概率论中一个重要的方法，

　?其 正 确 的 表 述 应 为 ：“ 设 A １ 、 A ２ 、 、 A n 是 样 本 空 间 的 一 个 划 分 ， B 是 一 个 事 件 ． 则

　?

　ni

　n

　i

　1 P(B

　而忽略了

　

　P( Ai )

　A i )P( A i ) ．”根据经验，许多学生在使用公式时往往会想当然地直接把几个条件概率相加

　。如何提醒他们注意到这一点呢？我们选择这样的例子

　“假定人群中有

　0.1% 的绝症患者（如

　癌症、爱滋病等） ，且绝症患者寿命不超过

　5 年的概率为

　90%；再假定根据统计，未患绝症者寿命在超过

　5

　年以上的概率为

　99.9% ，则从人群中任选一人，其寿命不超过

　5 年的概率为多少？”这一问题，正确地使

　用全概率公式可得从人群中任选一人，

　其寿命不超过

　5 年的概率约为

　0.189%。但若在计算时忽略了

　P( Ai ) ，

　则可得到从人群中任选一人，其寿命不超过

　5 年的概率为

　90.1% 的荒唐结论。对学生来说，这一实例比严格的证明更有说服力。

　应该知道，备课不是一劳永逸的事情，应该根据不同的学生、随着时代的发展不断地调整。如我校

　70 年代教学的对象是面向军工的，

　因而概率中常举到诸如射击、

　轰炸之类的例子。现在学生往往感觉这样的例子离他们的生活太远，听的多了反而觉得概率与统计现在已没什么用处了。这就需要教师，根据目前

　的应用情况，选取能反映时代特色的东西来说明问题。如以前在介绍数学期望概念时常举粮食的平均亩产量的例子，现在可以改为彩票或证券投资的平均收益，学生认识到这一概念在实际生活中的重要性，从而产生求知欲，积极地学习。要达到这个目的，作为教师就应不断的充实自己，不能仅仅满足于熟悉教材， 而应广泛涉猎，了解本学科及相关学科的最新进展，把最先进的知识教给学生。

　三、教学过程中应注重对知识的演示

　随机现象特点是概念抽象但实际中又大量存在，这就决定了教师需要对其所讲解的知识，特别是那些抽象的概念，向学生作一个直观的、系统解释，最好能通过图解进行演示。

　我们都知道，一个人对视觉知识的捕获是其他感觉获得方式的好几倍。因此，我们让学生看清楚知识发生的过程，往往比只告诉他们做的步骤更能使他们快速掌握解决问题的要领。这也就是为什么概率与统计课

　在多功能教室上比在普通教室里上效果要好的原因。

　因为在这样的教学环境中，

　教师可以通过计算机演示， 将思考问题的过程形象的展现在学生面前，甚至还可以让学生自己动手，做一些统计实验，以使得学生对

　知识的理解更加直观、具体，反馈更加直接、快速，从而达到教学相长的作用。为此我们自制了概率与统 计的 Powerpoint 电子教案，其中在引进全概率公式与之前，需首先通过一个例子的解答，推广到一般情形的，给出全概率公式的概念。在这张幻灯片上，点击一下，显示例题全文，教师可在下次点击之前先分析 题目，引导学生思考。接下来，利用逐字展开的动画功能显示事件假设，接着显示例题的配图，该图片形

　象地说明了题目中各个事件的关系以及题目的要求。下一步，字母

　B 从屏幕外飞入到窗口之中表示事件

　B

　的位置，进一步显示了所求事件的含义。通过这一过程，学生知道了题目的解法。最后再显示出题目的解答。将以上例子一般化，很容易引出样本空间划分的概念。通过本题的演示过程，使学生对样本空间的划分有了感性的认识，从而为理解全概率公式奠定了基础。再如中心极限定理是不容易理解的一个概念，为

　此我们研制了一个

　CAI 课件，该课件通过选取不同的参数

　n，形象地演示了随机序列前

　n 项和的分布逐步

　趋向正态分布的过程，使学生直观地感受到这一概念发生的过程，理解其本质。

　四、在教学中应注意采用双主体教学模式

　双主体教学模式认为：

　在教学活动中存在两个主体，

　教师是教学活动的主体，

　学生是学习活动的主体， 双方相互合作、相互影响、相互促进。这种教学模式改变了“教师讲，学生录”的现状，使学生自觉、主

　动地学习。

　如何在教学活动中建构双主体教学模式呢

　?课堂教学是主渠道，课堂教学是师生的双边活动，双方必须共同参与，相互配合。为了调动学生积极参与教学，教师应该激发学生的学习兴趣，学生一旦产生兴趣，就

　会涌发强烈的求知欲，就会积极主动地参与到教学活动中。在概率统计教学中，有许多抽象、乏味、难碴

　的知识，教学时如何激发学生的学习兴趣呢

　?老师应力求用一些深入浅出、贴近学生实际的例子，将教学

　内容化难为易，化抽象为具体。在学习“事件的概率”这一概念时，教师首先提出“掷一棵骰子，掷得

　6

　点的可能性有多大？掷得单数点的可能性有多大？”这个问题贴近生活，一经提出，学生争先恐后发言。问题虽然简单，但所有学生都参与到教学中来了，营造了一个轻松愉快的教学氛围。这时，教师再切人正题，引入古典概型的概率定义问题。学生们自然而然的就会联想到前面的例子，经过思考、讨论，得出答案。教师再超热打铁，让学生考虑这样定义的“概率”有什么性质、与大家对“可能性的理解是否一致。

　再提出“某人对目标射击一发子弹，命中目标的概率为多少？” ，让学生在讨论中将概率的古典定义转为频率定义， 最终通过分析两种定义的缺陷， 指出公理化定义的必要性， 再通过分析两种概率定义的共同点，

　自然地引出公理化定义。这种方式，有利于师生之间的互动。由于学生积极参与，学习积极性高，一节课下来不仅完成了教学任务，效果也突出的好。

　在教学活动中，教师还应当适时而巧妙地启发学生，帮助他们开启思路，从而获得知识。在介绍数字特

　征知识之前， 教师先通过金融投资的例子说明数字特征的作用，

　使学生认识到用处很大，

　从而产生求知欲。然后，教师再引导学生带着思考的头脑进入课堂，以学生的主动思考、讨论进行新课。例如讲解“数学期

　望”，教师提出如何计算打靶平均环数的问题加以引导，学生就会想到平均环数自然是应该用总分除以射

　击次数。然后教师再启发学生“当某射手

　100 次射击成绩为

　20 次 8 环， 20 次 9 环， 60 次 10 环时平均成绩该如何表示？” ，请一位学生将式子列出来。根据学生列出的式子，可以很自然的引出离散型随机变量

　的期望。再提出， “当随机变量在定义域内连续取值时，也就是连续型随机变量的期望该如何表示？”先让学生进行讨论，教师再引导学生根据“连续地求和就是积分”进行思考，最后得到了正确结论，给出了数学期望的定义。由于是学生经过思考自己获得的知识，所以记得住、用得活。在教学活动中，教师拓展了学生的思路，启发了学生的创造性思维，学生主动、自觉地学习，主体精神得以体现，同时，也获得了成功感、满足感，自信心增强了。学习兴趣提高了。教师对学生更加了解，调整进度，对教学也起了促进作用，充分体现了师生的互功。这种教学模式，不但有利于教师的专业水平、教学能力乃至整体素质的提高，而且也有利于学牛的认知水平、表达能力及分析、解决问题能力的提高。同时还增强了他们的创新意

　识：学生不再是只会死记硬背的“书呆子”

　，而发展成高水平、高素质的新型人才．这正符合了我们的教育目标。